Okrídlene povedané, fyzika je veda o predpovedaní budúcnosti. Fyzik si vymýšľa teórie, ktoré vysvetľujú svet okolo nás a základným KRITÉRIOM ÚSPEŠNOSTI tohoto vysvetľovania je schopnosť dotyčnej teórie KVANTITATÍVNE predpovedať výsledky BUDÚCICH experimentov. Napr. zatmenie Slnka môžeme "vysvetľovať" tým, že Slnko zakryl anjel krídlom, ale jeho vysvetlenie pomocou Newtonových zákonov je lepšie v tom, že na jeho základe dokážeme PREDPOVEDAŤ kedy a kde presne bude pozorovateľné nové zatmenie.
Matematika naopak nepredpovedá budúcnosť, lež jej základnou úlohou je riešiť presne definované problémy. Napríklad problém ako dosiahnuť, aby sa do mňa zamilovala Anička Chocholovie sa nepovažuje (zatiaľ) za presne definovaný, ale úloha nájsť všetky riešenia sústavy lineárnych rovníc presne definovaná je.
Dôvod, prečo sú matematika a fyzika sesterské disciplíny napriek ich rozličným cieľom, spočíva v tzv. matematickej modelizácii fyzikálnych problémov. Ak chcete napr. predpovedať, ako sa bude v budúcnosti pohybovať planéta Merkúr okolo Slnka, musíte riešiť istú presne definovanú sústavu diferenciálnych rovníc. Fyzikálna teória je potom predpis, ktorý priraďuje javom v našom reálnom svete konkrétne presne definované matematické úlohy (v ideálnom prípade ich riešenia).
Matematika sa samozrejme používa na modelovanie aj v iných vedách, lež vo fyzike to modelovanie dosiahlo zvlášť pokročilú úroveň vďaka existencii tzv. PARADIGIEM. Zhruba sa dá povedať, že teoretický fyzik sa vždy snaží modelovať v rámci platnej matematickej paradigmy a ak sa od nej odchýli nejakým iným modelovaním, vravíme, že sa venuje "fenomenológii" (eventuálne povieme, že vymýšľa novú paradigmu, čo sa však stáva zhruba raz za storočie a to len tým najväčším géniom).
Čo je to paradigma? Je to univerzálne platný matematický popis javov v prírode. Historicky prvú paradigmu vymyslel Isaac Newton a v modernom jazyku sa formuluje takto: akémukoľvek javu v prírode (či už pohybu planét, osciláciám telies zavesených na pružinách či odpudzovaniu elektrických nábojov totožného znamienka) zodpovedá jednoparametrická grupa automorfizmov nejakej symplektickej variety. Prosím čitateľov, aby sa nenechali odradiť prípadnou nezrozumiteľnosťou použitej terminológie. Dôležité je na tom iba pochopiť, že paradigma je predpis priraďujúci prírode ako celku istú veľmi špecifickú triedu matematických objektov. Na paradigme je dôležitá jej UNIVERZÁLNOSŤ (t.j. týka sa v princípe KAŽDÉHO javu bez výnimky) a jej úžasná VYMEDZUJÚCA schopnosť (t.j. v newtonovskej fyzike javom nepriradzujeme ani grafy, ani geometrické obrazce, ani matice či akékoľvek iné z množstva známych matematikmi študovaných objektov, ale priradzujeme im práve jednoparametrické grupy automorfizmov symplektických variet a nič iného).
Ak by Newtonova paradigma presne popisovala náš svet, práca fyzika by spočívala výlučne v priraďovaní každému novému javu jeho symplektickú varietu ako aj príslušnú jednoparametrickú grupu. (Keďže však symplektických variet i ich jednoparametrických grúp automorfizmov je ešte stále veľmi veľa, nebola by to zasa až taká ľahká práca!) Takto to vlastne fungovalo zhruba 200 rokov až do konca devätnásteho storočia, kedy Einstein pochopil, že do Newtonovej paradigmy sa "nezmestia" všetky javy a vyrukoval s paradigmou novou, ktorú môžeme označiť termínom "klasická relativistická teória poľa". Štvrťstoročie neskôr fyzici ako Heisenberg či Schrödinger pochopili, že ani táto nová paradigma nestačí na popis všetkých javov a zaviedli ešte jednu paradigmu, tzv. nerelativistickú kvantovú teóriu. Dve paradigmy v priebehu dvadsiatich piatich rokov spôsobili v komunite teoretických fyzikov filozoficko-estetické pnutie, nakoľko žiadna z nich nie je úplne univerzálna ( každá z nich síce opisuje širokú triedu javov, ale nie javy všetky) a pokusy o zjednocujúcu paradigmu zahrňujúcu i kvantovú teóriu i (všeobecnú) teóriu relativity trvajú už deväťdesiat rokov bez uspokojivého výsledku.
Takmer storočné márne hľadanie univerzálnej paradigmy vo fyzike má však nesmierne blahodárne dôsledky pre rozvoj matematiky, pretože je pre ňu zdrojom jednak nových problémov ako aj nových nástrojov na ich riešenie. Na pochopenie, o čo ide, zdôraznime najprv, že dobrý matematik rád útočí na ťažké problémy a na to potrebuje účinné nástroje, čo bývajú isté matematické štruktúry (napríklad fibrované variety, tenzorové kategórie či trebárs subfaktory v teórii von Neumannových algebier). Ak je problém natoľko ťažký, že žiadny známy nástroj nezaberá, musí si matematik vytvoriť nástroj nový. Veľmi často sa potom stane, že nový nástroj sa bude dať použiť aj na riešenie úplne iných problémov, ktoré s tým pôvodným nemali zdanlivo nič spoločného. Presne takto mnohé matematické poznatky získané štúdiom napr. neporuchovej kvantovej teórie poľa alebo teórie strún našli vysoko netriviálne uplatnenie v iných oblastiach matematiky, ktoré boli pôvodne vzdialené matematickému modelovaniu fyzikálnych javov.
Záverom zhrniem, že absencia univerzálnej paradigmy sa často považuje za krízu súčasnej teoretickej fyziky, ale menej sa už zdôrazňuje, že jej hľadanie posúva výrazne dopredu matematiku. Zostáva teda čakať, kedy sa "koleso otočí" a matematika tieto intelektuálne investície fyzike vráti aj s úrokmi. Niet totiž pochýb, že konštrukcia vytúženej univerzálnej paradigmy sa nezaobíde bez novej hlboko netriviálnej matematiky.
