reklama

O monoidoch a kategóriách

Tento článok je malou ukážkou toho, ako si fyzik pripravuje terén na skúmanie prírody zadefinovaním istých matematických pojmov.

Písmo: A- | A+
Diskusia  (16)

Tento článok je malou ukážkou toho, ako si fyzik pripravuje terén na skúmanie prírody zadefinovaním istých matematických pojmov. Tie najdôležitejšie pojmy zriedkakedy vznikli tak, že nejaký konkrétny vedec si jedného dňa večer zmyslel zadefinovať nejakú štruktúru a na druhý deň ráno tak učinil. V skutočnosti je definovanie dôležitého pojmu poväčšine produktom syntézy množstva čiastočných úvah či výsledkov realizovaných či získaných mnohými ľuďmi počas dlhých rokov. Jedným z takýchto veľadôležitých pojmov pre teoretickú fyziku je pojem tzv. grupy, ktorý sa používa na štúdium invariancie vo všeobecnosti a špeciálne na štúdium invariance fyzikálnych zákonov. Konkrétne v prípade špeciálnej teórie relativity sa jedná o afinnú Lorentzovu grupu, ktorá je tvorená všetkými afinnými Lorentzovými transformáciami. Ak sa teda stretnú vo vesmíre dve rakety s vypnutými motormi, tak vedci v rakete A sa pozrú ako ďaleko, v akom smere, akou rýchlosťou a s akým natočením sa voči ním pohybuje raketa B a týmto údajom priradia jeden konkrétny prvok afinnej Lorentzovej grupy. To isté urobia vedci v rakete B a dostanú tzv. inverzný prvok afinnej Lorentzovej grupy. Existencia inverzného prvku ku každému prvku grupy je jednou zo základných vlastností grupy, ale nie tou najzákladnejšou, ktorou je princíp skladania dvoch prvkov grupy. Ak sa teda niekde ponevierajú neďaleko od seba tri rakety s vypnutými motormi, tak afinná Lorentzova transformácia z rakety A do rakety C je zložením transformácií AB a BC. Skladanie afinných Lorentzových transformácií ako aj triviálna transformácia AA musia ďalej vyhovovať tzv. axiómam monoidu. Čo to znamená si osvetlíme vo všeobecnejšej rovine, keďže v teoretickej fyzike sa skúma aj invariancia voči iným grupám (monoidom) ako Lorentzovej a v modernej neporuchovej kvantovej teórie poľa je dokonca pojem monoid nahradený ešte všeobecnejším pojmom kategórie. Poďme teraz na vec, zanechajme fyzikálne motivácie a robme čistú matematiku.

SkryťVypnúť reklamu
Článok pokračuje pod video reklamou

Pripomeňme si najprv. že  monoid je množina M vybavená úplným asociatívnym násobením a jedinou jedničkouTo znamená, že :

  1. Každej usporiadanej dvojici prvkov monoidu x,y je priradený ich súčin xy, ktorý je taktiež prvkom monoidu M.

  2. Pre ľubovoľné tri prvky x,y,monoidu platí (xy)z =x(yz), čo vyjadrené slovami znamená, že súčin xy so z dá to isté ako súčin x s yz .

  3. Jednička značenáje jediným  prvkom monoidu, pre ktorý platí ex=xe=x, kde x je ľubovoľný prvok monoidu. 

Príkladom monoidu je dvojprvková množina reálnych čísel {1,-1}, kde súčinom je zvyčajný súčin reálnych čísel a jedničkou je prvok 1. Zložitejším príkladom je množina štvorcových reálnych matíc Mat(n), kde n označuje fixný počet riadkov (alebo stĺpcov) matice. Asociatívne násobenie je v tomto prípade zadané zvyčajným násobením matíc a rolu jedničky hrá diagonálna matica s číselnými jedničkami na diagonále (tzv. jednotková matica). Afinná Lorentzova grupa je taktiež monoid, ale iného typu ako dva predchádzajúce príklady.

SkryťVypnúť reklamu
reklama

 Prejdime teraz k pojmu kategórie. V prvom priblížení sa dá povedať, že kategória je množina C vybavená čiastočným  asociatívnym násobením a viacerými  jedničkami. 

  1. Čiastočné násobenie znamená, že vo všeobecnosti nemôžeme vynásobiť ľubovoľné dva prvky x,y kategórie a asociatívne znamená, že ak sa však dá x vynásobiť s y a súčin xy sa dá vynásobiť so z  tak potom sa dá vynásobiť aj y so z a x so súčinom yz a navyše platí x(yz)=(xy)z.

  2. Vlastnosť jedničky znamená, že ak nejaká jednička e vie vynásobiť zľava nejaký element x kategórie, tak platí ex=x a ak ho vie vynásobiť sprava, tak platí xe=x

Teraz spresníme prvé priblíženie a dokončíme definíciu kategórie poslednými dvoma axiómami vymedzujúcimi vzťah čiastočného násobenia a jedničiek. Požaduje sa teda

  1. Jedničky sa medzi sebou nenásobia, tj. ak e a e’ sú dve rôzne jedničky kategórie, potom neexistuje súčin ee’.

  2.  Súčin xy dvoch prvkov kategórie C existuje práve vtedy, ak existuje jednička e, ktorá vie zároveň vynásobiť x sprava a y zľava.

Podotkneme tiež, že prvky kategórie sú často nazývané morfizmami a špeciálne jedničkám sa hovorí objekty kategórie

Najjednoduchším príkladom netriviálnej kategórie je štvorprvková množina rôznych typov predlžovacích šnúr v medzinárodnom hoteli v Austrálii. Elektrické zásuvky zabudované v stenách sú tam dvoch druhov: austrálske a európske, a hosť má k dispozícii niekoľko predlžovacích šnúr štyroch typov: Aa (austrálska zásuvka, austrálska vidlica), Bb (európska zásuvka, európska vidlica), Ba (európska zásuvka, austrálska vidlica) a Ab (austrálska zásuvka, európska vidlica). Súčinom xy dvoch typov šnúr xy  nazveme typ šnúry, ktorý vznikne zasunutím vidlice šnúry x do zásuvky šnúry y. Napríklad pre x=Ba a y=Ab dostaneme xy=Bb. Ľahko vidíme, že toto násobenie je iba čiastočné a nie úplné, keďže nemôžeme napr. spolu vynásobiť prvky Aa a Bb. Taktiež bez problémov overíme, že naša štvorprvková množina vybavená čiastočným násobením daným spojovaním šnúr je príkladom kategórie, ktorej objektami sú navzájom nevynásobiteľné jedničky Aa a Bb. Možno mimochodom taktiež nahliadať na množinu objektov tejto kategórie oddelene a stotožniť ju s dvojprvkovou množinou typov zásuviek v stene. 

SkryťVypnúť reklamu
reklama

Zložitejším príkladom kategórie je množina všetkých konečno rozmerných reálnych matíc Mat(n,m) štvorcových či obdĺžnikových, s variabilným počtom riadkov n  a stĺpcov m. Každému prirodzenému číslu n  zodpovedá práve jedna jednička tejto kategórie označená e(n) a konkrétne sa jedná o jednotkovú štvorcovú maticou s n riadkami a n stĺpcami (inými slovami sa jedná o jedničku monoidu Mat(n)). Operáciou čiastočného násobenia je samozrejme násobenie matíc. Súčin dvoch matíc xy existuje práve vtedy, ak počet stĺpcov matice x je ten istý ako počet riadkov matice y, čiže práve vtedy, ak sa x dá násobiť tou istou jednotkovou maticou sprava, čo y zľava.

SkryťVypnúť reklamu
reklama

 Nakoniec k tomu všetkému poznamenám, že využitie štruktúr ako monoid alebo kategória v teoretickej fyzike je založené na tom, ako pôsobia na ešte « onakvejšie » matematické štruktúry s fyzikálnou interpretáciou. Tie onakvejšie štruktúry môžu byť napr. fyzikálne zákony alebo tiež priestory stavov neporuchovej kvantovej teórie poľa a o tom, čo znamená pôsobenie, hádam napíšem inokedy. 

Ctirad Klimčík

Ctirad Klimčík

Bloger 
  • Počet článkov:  131
  •  | 
  • Páči sa:  474x

absolvent MFF UK v Prahe, odbor matematická fyzika, PhD získaný v SISSA v Terste, profesor matematiky na Univerzite Aix-Marseille od roku 1997 Zoznam autorových rubrík:  NezaradenéSúkromné

Prémioví blogeri

Pavol Koprda

Pavol Koprda

10 článkov
Zmudri.sk

Zmudri.sk

3 články
Lucia Šicková

Lucia Šicková

4 články
Juraj Hipš

Juraj Hipš

12 článkov
Monika Nagyova

Monika Nagyova

295 článkov
reklama
reklama
SkryťZatvoriť reklamu