reklama

O funktoroch a prirodzených transformáciách

V článku definujem funktory ako matematické objekty komunikujúce medzi kategóriami a taktiež definujem pojem príbuznosti funktorov

Písmo: A- | A+
Diskusia  (17)

Funktor je zachovávajúce zobrazenie medzi dvoma kategóriami. Aby sme túto vetu pochopili, musíme si pojmy v nej vystupujúce uspokojivo definovať.

Začnime od toho, že zobrazenie F z množiny  A do množiny je jednoznačné priradenie každému prvku a množiny A istého prvku F(a)  množiny B. Napríklad A môže byť množina kabátov v šatni divadla a zasa množina návštevníkov divadelného predstavenia. Aby teda nedošlo po predstavení k nepokojom, šatnárka musí poznať to správne zobrazenie  F priraďujúce každému kabátu jeho majiteľa. Slovo jednoznačný znamená, že žiadnemu kabátu nepriradíme dvoch či viac majiteľov. Všimneme si ešte, že niektorí otužilí diváci mohli prísť na predstavenie bez kabáta, inými slovami sa môže stať, že niektoré prvky množiny B nepriradí naše zobrazenie F  žiadnemu z prvkov množiny A.

SkryťVypnúť reklamu
Článok pokračuje pod video reklamou

Poďme sa teraz pozrieť na prívlastok “zachovávajúce”. Predstavme si, že šofér mikrobusu so šestnástimi sedadlami pre pasažierov má niekam odviezť desať turistov. Musí teda zostrojiť zobrazenie, ktoré každému pasažierovi priradí jeho sedadlo. Toto je samozrejme ľahučká úloha, lebo takýchto zobrazení je kopec, ale my ju teraz šoférovi sťažíme tým, že zavedieme istú štruktúru na množine turistov. Naša množina A desiatich turistov bude teda tvorená piatimi manželskými pármi. Keďže aj na množine sedadiel B je prirodzená štruktúra dvojíc sedadiel, budeme od šoféra požadovať, aby zostrojil zobrazenie F, usadzujúce každý manželský pár na dvojicu priľahlých sedadiel. Tomuto zobrazeniu budeme hovoriť zachovávajúce, lebo zachováva štruktúru prevádzaním dvojice na dvojicu. Samozrejme, zachovávajúcich zobrazení je menej ako všetkých možných zobrazení a matematik ich študuje prednostne, napr. s cieľom ich klasifikovať.

SkryťVypnúť reklamu
reklama

Môže sa stať, že šofér nájde pekné zachovávajúce zobrazenie, ale usadí k oknu pána Nováka a k chodbičke pani Novákovú. Okamžite sa však za podobný prechmat ospravedlní a vymení zachovávajúce zobrazenie F za iné zachovávajúce zobrazenie G, ktoré sa bude líšiť od F len tým, že usadí k oknu pani Novákovú a k chodbičke pán Nováka. Šofér potom rádiom nahlási dispečerovi, že sa chvíľu zdržal, lebo musel uskutočniť prirodzenú transformáciu medzi zachovávajúcimi zobrazeniami  F  a G.

To všetko, čo som doteraz napísal, boli dosť hrubé analógie toho, čo sa deje v teórii kategórií, ale cieľom bolo ilustrovať princíp, že medzi zachovávajúcimi sa zobrazeniami niektoré môžu mať k sebe prirodzene bližšie než niektoré iné.

SkryťVypnúť reklamu
reklama

A teraz poďme do tuhého a nerobme už žiadne analógie, ale napíšme, ako sa veci majú presne:

Funktor  F je také zobrazenie z kategórie A do kategórie B, že pre každé dva vynásobiteľné prvky b kategórie A platí F(ab)=F(a)F(b). Navyše sa požaduje, aby funktor zobrazoval každú jedničku kategórie  A  na nejakú jedničku kategórie B.

Vzťah F(ab)=F(a)F(b)  sa pritom vyjadrí slovami takto: Ak existuje súčin ab (čo je prvok kategórie A) potom existuje aj súčin F(a)F(b) (čo je prvok kategórie B) a platí, že funktor F priradí prvku ab súčin F(a)F(b).

Nech F,G sú dva funktory z kategórie A  do kategórie B. Prirodzenou transformáciou medzi funktormi F G nazývame zobrazenie w z množiny jedničiek kategórie A do kategórie B s nasledujúcou vlastnosťou: Ak prvok f kategórie sa dá vynásobiť zľava jedničkou e  a sprava jedničkou  e’ potom F(f) sa dá vynásobiť zľava prvkom w(e) G(f) sprava prvkom w(e’) pričom platí  w(e)F(f)=G(f)w(e’).

SkryťVypnúť reklamu
reklama

Vzťah  w(e)F(f)=G(f)w(e’)  zadáva veľmi silnú požiadavku na zobrazenie w, pretože prvkov f  kategórie A vynásobiteľných zľava jedničkou e a sprava jedničkou  e’  môže byť veľmi veľa a pre každý z nich musí platiť, že netotožnosť funktorov F a G sa dá kompenzovať pravým či ľavým násobením obrazmi zobrazenia w. Taký silný vzťah sa nedá vždy splniť a vtedy povieme, že funktory F a G sa nedajú prirodzene pretransformovať jeden na druhý. 

Načo sú definície funktora a prirodzenej transformácie dobré? Napr. nato, že ony niečo zovšeobecňujú. Ak napr. i kategória A i kategória  majú obe iba jednu jedničku (sú to teda monoidy) a navyše je garantovaná aj existencia inverzného prvku v kategórii B (tj. B je grupa), potom prirodzená transformácia medzi funktormi F a G je vnútorný automorfizmus grupy B spájajúci podmonoidy F(A) a G(A)

Ak má kategória A jedinú jedničku a kategória B viacero jedničiek, tak teória prirodzených transformácií funktorov z do B zahŕňa teóriu takzvaných ekvivariantných zobrazení, ktorej súčasťou je napr. tenzorový počet používaný v Einsteinovej všeobecnej teórii relativity. Nové netriviálne aplikácie teórie prirodzených transformácií vznikajú, keď má aj kategória A aj kategória  viacero jedničiek. O tom však ešte bude reč.

Nakoniec ako príklad celej teórie skonštruujem dva funktory F a G z kategórie A do kategórie B a tiež prirodzenú transformáciu w, ktorá ich spája.

Kategóriu A  som zaviedol v minulom článku “O monoidoch a kategóriách” (išlo o kategóriu typov predlžovacích šnúr v austrálskom hoteli). Má štyri prvky e,e’,g,h a dovolené násobenia sú tieto :

ee=e, eg=g, e’e’=e’, e’h=h, ge’=g, gh=e, he=h, hg=e’.

Vidíme, že prvky e,e’ sú jedničkami kategórie  A.

Teraz zavediem kategóriu B. Jej prvkami sú usporiadané dvojice reálnych čísel (a,b)  a jedničkami dvojice, pre ktoré a=b, alebo, inými slovami, dvojice typu (a,a). Čiastočné násobenie prvkov  (a,b)(a’,b’) je definované iba ak b=a’ a vtedy je súčin rovný (a,b’).

Pre nejakú usporiadanú dvojicu (x,y) teraz zadefinujem funktor F týmito vzťahmi :

F(e)=(x,x), F(e’)=(y,y), F(g)=(x,y), F(h) =(y,x)

a pre nejakú inú usporiadanú dvojicu  (x’,y’)  zasa funktor G  podobnými vzťahmi

G(e)=(x’,x’), G(e’)=(y’,y’), G(g)=(x’,y’), G(h) =(y’,x’)

Nakoniec prirodzená transformácia w medzi funktormi F G je daná formulami

w(e)=(x’,x), w(e’)=(y’,y).

Ctirad Klimčík

Ctirad Klimčík

Bloger 
  • Počet článkov:  131
  •  | 
  • Páči sa:  474x

absolvent MFF UK v Prahe, odbor matematická fyzika, PhD získaný v SISSA v Terste, profesor matematiky na Univerzite Aix-Marseille od roku 1997 Zoznam autorových rubrík:  NezaradenéSúkromné

Prémioví blogeri

Monika Nagyova

Monika Nagyova

295 článkov
Zmudri.sk

Zmudri.sk

3 články
Matúš Sarvaš

Matúš Sarvaš

3 články
Adam Valček

Adam Valček

14 článkov
Karolína Farská

Karolína Farská

4 články
reklama
reklama
SkryťZatvoriť reklamu