O hladkých varietách, ale tiež o šamanoch a učebniciach

Autor: Ctirad Klimčík | 29.11.2020 o 19:17 | Karma článku: 2,89 | Prečítané:  347x

Približujem čitateľom blogu pojem hladkej variety, ktorý patrí k tým najdôležitejším  nielen v matematike ale aj  v teoretickej fyzike, keďže podľa Einsteinovej teórie samotný vesmír je hladkou varietou.

 Hladká varieta je jedným z najzákladnejších pojmov modernej geometrie a možno stojí zato  ho trochu priblížiť  aspoň z ideologického hľadiska aj záujemcom pôsobiacim mimo odboru. Je to podľa môjho názoru poučná téma dokonca aj pre mladých doktorandov teoretickej fyziky, ktorí nezriedka čerpajú znalosti z fyzikálne orientovaných učebníc geometrie, kde sa niektoré dôležité zákutia pojmu hladkej variety dostatočne neosvetľujú. Samotná definícia hladkej variety je pritom pomerne zložitá a pamätám sa, ako počas spoločných obedov matematikov v IHES (Inštitút pre vysoké vedecké štúdiá pri Paríži) bola nezriedka na pretrase.  Bolo to preto, že prítomní Fieldsovi medailisti neskrývali rozčarovanie nad tým, že tento kľúčový pojem "sa nedá definovať jednou vetou". Čo viac, keď už sa nejaká ako-tako stručná definícia nájde, odkrýva iba niektoré aspekty pojmu a tie iné v nej zostávajú pomerne skryté. Až keď sa položí vedľa seba viacero takýchto definícií, získa sa názorný pohľad na to, čo to hladká varieta skutočne je, lenže tu už sa nedá baviť o tej jednej vete, ale minimálne o viacerých odstavcoch.

 

Predstavme si teda pre začiatok, že sa hŕba fotografov vyberie zdokumentovať nejaký summit typu G20, s cieľom zachytiť všetky bilaterálne stretnutia  zúčastnených štátnikov. Ak je každé takéto stretnutie zvečnené na fotke, môže si obrázok o summite vytvoriť aj osoba, ktorá sa ho priamo nezúčastnila. Predstavme si taktiež, že takáto nezúčastnená osoba študuje album fotiek zo summitu a  uvidí na jednej fotke zároveň stisk ruky Trumpa s Putinom i Merkelovej s Macronom a na inej fotke uvidí TEN ISTÝ stisk ruky Trumpa s Putinom a zároveň zvítanie Johnsona s Trudeauom. Slová TEN ISTÝ som zdôraznil, keďže osoba prezerajúca si fotky dobre chápe, že Trump s Putinom si nepodali ruky dvakrát, ale ten istý stisk zvečnili dve rôzne fotografie.

 

Povedzme, že tie dve rôzne fotografie dokážeme  zlepiť do jednej jedinej, na ktorej si šestica štátnikov podáva ruky a tým zabezpečíme, že každý jednotlivý stisk je zvečnený na jedinej fotke. Ak si však Merkelová s Macronom podávali ruky v jednej miestnosti, Johnson s Trudeauom v druhej a Trump s Putinom v otvorených dverách medzi týmito dvoma miestnosťami,  tak tie dve fotky snímané z dvoch rôznych miestností nemôžeme zlepiť priamo, ale zlepujeme ich iba významovo v našom mozgu.

Hladká varieta je niečo ako množina tých stiskov rúk na summite. Je charakterizovaná albumom fotiek (ktorému sa v skutočnosti hovorí atlas máp) a na každej takej fotke (mape) sú zakreslené regióny bodov (stiskov rúk), ktoré sa objavujú aj na inej fotke (mape). Ak máme mapy iba dve, môžeme napríklad na každej z nich vyznačiť stred a povedať, že všetky body (stisky rúk)  na mape 1 okrem toho jediného stredového sa objavujú aj na mape 2 a ležia MIMO STREDU mapy 2. Ak teraz VHODNE  stotožníme (konkrétne pomocou variantu takzvanej kružnicovej inverzie) mimostredové stisky rúk na mape 1 s mimostredovými stiskami rúk na mape 2 a stredové body obidvoch máp nestotožníme s ničím, dostaneme hladkú varietu ako množinu všetkých bodov ležiacich  na mape 1 doplnenú o bod v strede mapy 2 (konkrétne dostaneme sféru). 

Vo formálnej matematickej definícii hladkej variety sa značný priestor venuje pojmu hladkosti stotožnenia stiskov rúk, čomu by v našej analógii so summitom G20 zhruba zodpovedalo také presné lepenie dvoch fotiek Trumpa s Putinom, aby aj zárubne dverí v pozadí obidvoch fotografií do seba presne zapadli.  V učebniciach geometrie písaných fyzikmi sa tento aspekt hladkosti zoširoka diskutuje, ale na počudovanie sa poväčšine vôbec nediskutuje rovnako dôležitý aspekt lepenia fotiek, ktorý musí zabezpečovať tzv. Haussdorffovu topologickú vlastnosť variety (tj. pre každé dva  body zlepenej variety musia existovať ich neprekrývajúce sa okolia). To má potom za následok, že čitateľ podobnej učebnice si nemusí uvedomiť, že hojne diskutované tzv. lokálne zámeny súradníc medzi mapami nemôžu byť ani zďaleka ľubovoľné hladké zobrazenia, ale musia spĺňať drastické podmienky garantujúce Haussdorfovu topologickú vlastnosť. Nestačí napr.  akýmkoľvek hladkým spôsobom zlepiť mimostredové regióny na dvoch mapách v horeuvedenom príklade, aby sme dostali  hladkú varietu. Ak napr. tie mimostredové stisky rúk na obidvoch mapách stotožníme síce hladko ale NEVHODNE (napr. pomocou identického zobrazenia), potom znova získame množinu všetkých bodov ležiacich  na mape 1 doplnenú o bod v strede mapy 2, avšak táto množina už NEBUDE mať štruktúru hladkej variety, lebo bude postrádať Haussdorfovu topologickú vlastnosť.

Aby som bol voči autorom fyzikálnych učebníc geometrie spravodlivý, niektorí z nich aj formálne zreprodukujú vo svojom texte definíciu Haussdorfovej topologickej vlastnosti, avšak už konkrétne neuvedú, akú dôležitú úlohu hrá pri štúdiu takého podstatného pojmu, akým je lokálna zámena súradníc.  Dokonca v jedinej slovenskej učebnici na túto tému si môžete prečítať, že "pre úroveň poznania variet, ktorú (my fyzici) potrebujeme, topologické pojmy nijako netriviálne nevyužijeme"... Ako čerešnička na torte je k tomuto nesprávnemu tvrdeniu pripojená poznámka pod čiarou, ktorú stojí za to doslovne odcitovať:

"Didakticky sa opierame o najnovšie vedecké poznatky, najmä o etnologické výskumy Indiánov v povodí Amazonky. Tie presvedčivo ukázali, že aj títo skutoční majstri prežitia v podmienkach džungle úplne vystačia s intuitívnymi vedomosťami o hladkých varietách a iba šamani tu i tam ovládli niektoré formálne definície; napríklad fakt, že topologický priestor, ktorým je hladká varieta, má byť hausdorffovský, zvyknú šamani prezradiť členom kmeňa až tesne pred smrťou a keď im začnú rozoberať príklady nehausdorffovských priestorov, vystrašený jedinec (podľa očitých svedkov) obyčajne radšej rýchlo poručí dušu Všemohúcemu."

Inak (veľmi zriedkavé) žartovanie v odbornej literatúre mi nikdy nevadilo, ak pochádzalo z pera napr. takého Vaughana Jonesa, ktorý vo vede skutočne niečo vymyslel a možno práve preto žartoval pádne.   Vadí mi však, ak autor učebnice sugeruje čitateľovi hoci navonok s dobrosrdečným humorom,  že Haussdorfova vlastnosť je len také neškodné matematické huncútstvo bez veľkého dosahu na porozumenie pojmu variety. Opak je totiž pravdou.  Samozrejme, ak niekto pozná geometriu iba povrchne, môže mať pocit, že všetky variety, ktoré videl tým či oným spôsobom zadefinované, majú Haussdorfovu vlastnosť tak nejak automaticky, takže je škoda sa o tom rozširovať. Skutočný geometer konštruujúci novú doposiaľ neznámu varietu "lepením fotiek" však vie, že na Haussdorfovu vlastnosť je treba dávať veľký pozor a jej splnenie je netriviálne.

Podotknem ešte, že autor dotyčnej slovenskej učebnice spomína Haussdorfovu vlastnosť ešte na inom mieste svojho textu touto formuláciou: 

" Z technických dôvodov (s cieľom nedostať ako variety aj objekty, ktoré ako variety mať nechceme) sa v ďalšom obmedzíme na Hausdorffove topologické priestory."

Nie je mi naozaj jasné, čo týmto chcel autor povedať. Len to, že chceme, aby boli za variety považované iba Hausdorffove topologické priestory? To predsa chceme nie z technických dôvodov ale skôr z principiálnych, keďže napr. v kúsku vesmíru, ktorý obývame, žiadne porušenie Hausdorffovej vlastnosti nevidíme.

Aby tie "technické dôvody" naozaj sedeli, táto veta by mala byť v texte posadená o niečo ďalej a reformulovaná takto:

"Z technických dôvodov (s cieľom nedostať ako variety aj objekty, ktoré nie sú Hausdorffovými topologickými priestormi) musíme sformulovať dodatočné podmienky na hladké lokálne zámeny súradníc na prieniku lokálnych máp.  

Samozrejme, po tejto vete by bolo načim tie dodatočné podmienky v učebnici naformulovať.  

 Nakoniec si dovolím tie dodatočné podmienky chýbajúce v učebnici sformulovať tu na blogu v rámci nasledujúcej formálnej definície  hladkej (dvojrozmernej) variety:

Nech A je množina celorovinných máp, ktorej prvky označíme písmenami I,J,K ... Štruktúra hladkej dvojrozmernej variety je zadaná   súborom hladkých lepiacich lokálnych zámen súradníc f(IJ)  z mapy I do mapy J,  pričom f(II) je identické zobrazenie roviny a zložené zobrazenie f(JK)f(IJ) je zúžením zobrazenia f(IK). Lokálna zámena súradníc f je pritom lepiaca,  ak pre každé dva body x,y ležiace respektívne na hranici  definičného oboru Def(f) a na hranici oboru hodnôt Im(f), existujú také okolia O(x) a O(y), že f-obraz prieniku O(x) s Def(f) nepretína prienik O(y) s Im(f). 

Na záver poznamenám, že hladké lokálne zámeny súradníc musia byť lepiace práve preto, aby bola splnená Haussdorfova vlastnosť hladkej  variety.

  
Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

Dva dni nemal platiť zákaz vychádzania, o chybe vraj vláda vedela

Zákaz vychádzania bude platiť aj 25. a 26. januára.

Dobré ráno

Dobré ráno: Kotleba je navždy vodca, fašisti sa hádajú

Prečo nastal rozkol v ĽSNS.


Už ste čítali?